백준 6064번 카잉 달력 :: 마이구미

이 글은 백준 알고리즘 문제 6064번 "카잉 달력" 을 풀이한다.

일반적으로 시뮬레이션 문제라고 보이지만, 순수하게 접근하면 시간 초과를 초래한다.

별도 알고리즘 지식이 아닌, 시간 초과를 해결하는 다른 접근을 요구한다.

문제 링크 - https://www.acmicpc.net/problem/6064

최근에 ICPC 탐사대는 남아메리카의 잉카 제국이 놀라운 문명을 지닌 카잉 제국을 토대로 하여 세워졌다는 사실을 발견했다. 카잉 제국의 백성들은 특이한 달력을 사용한 것으로 알려져 있다. 그들은 M 과 N 보다 작거나 같은 두 개의 자연수 x, y를 가지고 각 년도를 <x:y>와 같은 형식으로 표현하였다. 그들은 이 세상의 시초에 해당하는 첫 번째 해를 <1:1>로 표현하고, 두 번째 해를 <2:2>로 표현하였다. <x:y>의 다음 해를 표현한 것을 <x':y'>이라고 하자. 만일 x < M 이면 x' = x + 1이고, 그렇지 않으면 x' = 1이다. 같은 방식으로 만일 y < N이면 y' = y + 1이고, 그렇지 않으면 y' = 1이다. <M:N>은 그들 달력의 마지막 해로서, 이 해에 세상의 종말이 도래한다는 예언이 전해 온다. 

예를 들어, M = 10 이고 N = 12라고 하자. 첫 번째 해는 <1:1>로 표현되고, 11 번째 해는 <1:11>로 표현된다. <3:1>은 13 번째 해를 나타내고, <10:12>는 마지막인 60 번째 해를 나타낸다. 

네 개의 정수 M, N, x 와 y가 주어질 때, <M:N>이 카잉 달력의 마지막 해라고 하면 <x:y>는 몇 번째 해를 나타내는 지를 구하는 프로그램을 작성하라. 

이 문제의 핵심은 빨간색으로 명시된 문장이 된다.

x < M 이면 x` = x + 1, 그렇지 않으면 x` = 1 이다. y 또한 동일하다.

예를 들면 아래와 같다.

<10, 12>
1번째 해 => <1,1>
2번째 해 => <2,2>
.........
10번째 해 => <10,10>
11번째 해 => <1,11>
12번째 해 => <2,12>
13번째 해 => <3,1>

위처럼 시뮬레이션을 통한 x, y 를 각각 증가시키는 방법을 활용해 구현할 수 있다.

하지만 이 방법은 시간복잡도가 O(M*N) 으로써, 시간제한인 1초를 넘게 되어, 다른 접근이 필요하다.

문제 풀이를 위한 아이디어는 x 를 먼저 맞추고, y 를 따라가게하는 것이다.

x 를 맞추면,  y 만을 신경쓰면 된다.

y는 M 만큼 증가하고 N 으로 나머지 연산을 한다면, y 의 값을 알 수 있다는 것은 이해하고 있을 것이다.

이런식으로 y 를 M 만큼 계속 증가시키다보면, y 또한 맞춰질 것이다.

예를 통해 보면 이해하기 쉬울 것이다.

위처럼 x는 5로 처음부터 끝까지 고정시킨다.

그러면서 M 만큼 계속해서 y 를 증가시킬때마다, N 으로 나머지 연산을 해주면 현재의 y 를 알 수 있다.

이미 x 는 5 로 맞춰져있기 때문에, y 가 6이 되는 순간에 우리가 원하는 <5:6> 를 구해졌다.

예외인 경우를 위해서 최소공배수를 활용한다.

문제에서도 마지막 해의 번째를 알려주었다. 이건 힌트일 수도 있었다.

10, 12 의 최소공배수는 60이다.

주어지는 M,N 의 최소공배수를 넘는다면 예외라고 볼 수 있다.

알고 나면 정말 허무한 문제가 된다.

쉬운 문제이면서, 다른 접근을 요구하는 문제로써, 좋은 문제라고 생각한다.

Github - https://github.com/hotehrud/acmicpc/blob/master/algorithm/math/6064.java

private void solve() {
    int t = sc.nextInt();
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
 
    while (t-- > 0) {
        int m = sc.nextInt();
        int n = sc.nextInt();
        int x = sc.nextInt();
        int y = sc.nextInt();
 
        int cnt = x % (m + 1);
        int tempY = x;
 
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int ty = tempY % n == 0 ? n : tempY % n;
            if (ty == y) {
                break;
            }
 
            tempY = ty + m;
            cnt += m;
        }
        sb.append(cnt > lcm(m, n) ? "-1" : cnt);
        sb.append("\n");
    }
    System.out.println(sb.toString());
}
 
public static int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}
 
public static int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}